Question

17．已知数列{a_n}中，对任意的n∈N^*，若满足a_n+a_n+1+a_n+2=s（s为常数），则称该数列为3阶等和数列，其中s为3阶公和；若满足a_n•a_n+1=t（t为常数），则称该数列为2阶等积数列，其中t为2阶公积．已知数列{p_n}为首项为1的3阶等和数列，且满足$\frac{p_3}{p_2}=\frac{p_2}{p_1}=2$；数列{q_n}为首项为-1，公积为2的2阶等积数列，设S_n为数列{p_n•q_n}的前n项和，则S₂₀₁₆=-7056．

Answer 1

分析 由题意可知，p₁=1，p₂=2，p₃=4，p₄=1，p₅=2，p₆=4，p₇=1，…，又p_n是3阶等和数列，因此该数列将会照此规律循环下去．同理，q₁=-1，q₂=-2，q₃=-1，q₄=-2，q₅=-1，q₆=-2，q₇=-1，…，又q_n是2阶等积数列，因此该数列将会照此规律循环下去．利用其周期性即可得出．

解答 解：由题意可知，p₁=1，p₂=2，p₃=4，p₄=1，p₅=2，p₆=4，p₇=1，…，又p_n是3阶等和数列，因此该数列将会照此规律循环下去，
同理，q₁=-1，q₂=-2，q₃=-1，q₄=-2，q₅=-1，q₆=-2，q₇=-1，…，又q_n是2阶等积数列，因此该数列将会照此规律循环下去．
由此可知对于数列{p_n•q_n}，每6项的和循环一次，易求出p₁•q₁+p₂•q₂+…+p₆•q₆=-21，
因此S₂₀₁₆中有336组循环结构，故S₂₀₁₆=-21×336=-7056．
故答案为：-7056．

点评 本题考查了新定义、数列的周期性、“分组求和法”，考查了推理能力与计算能力，属于难题．