Question

9．在各项均为正数的等比数列{a_n}中，a₁=1，a₂+a₃=6．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=$\left\{\begin{array}{l}{2n-1，n为奇数}\\{{a}_{n}，n为偶数}\end{array}\right.$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过等比数列可知6=q+q²，进而计算可得公比，从而可得结论；
（Ⅱ）当n为偶数时，利用分组法求和可知T_n=$\frac{{n}^{2}-n}{2}$+$\frac{2}{3}$（2ⁿ-1）；当n为奇数时利用T_n+1=T_n+b_n+1计算可知T_n=T_n+1-2ⁿ=$\frac{{n}^{2}+n}{2}$+$\frac{1}{3}$（2ⁿ-2）．

解答 解：（Ⅰ）依题意，a₂+a₃=6=q+q²，
解得：q=2或q=-3（舍），
∴数列{a_n}的通项公式a_n=2^n-1；
（Ⅱ）依题意，当n为偶数时，T_n=[1+5+…+（2n-3）]+（2+2³+…+2^n-1）
=$\frac{n（n-1）}{2}$+$\frac{2-{2}^{n-1}×{2}^{2}}{1-{2}^{2}}$
=$\frac{{n}^{2}-n}{2}$+$\frac{2}{3}$（2ⁿ-1）；
当n为奇数时，n+1为偶数，
∵T_n+1=T_n+b_n+1=T_n+2ⁿ，
∴T_n=T_n+1-2ⁿ
=$\frac{{n}^{2}+n}{2}$+$\frac{2}{3}$（2ⁿ⁺¹-1）-2ⁿ
=$\frac{{n}^{2}+n}{2}$+$\frac{1}{3}$（2ⁿ-2）；
综上所述，T_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{n}^{2}+n}{2}+\frac{{2}^{n}-2}{3}，}&{n为奇数}\\{\frac{{n}^{2}-n}{2}+\frac{2（{2}^{n}-1）}{3}，}&{n为偶数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．