Question

20．已知F₁，F₂分别是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0）的左．右焦点，且|F₁F₂|=2，若P是该双曲线右支上的一点，且满足|PF₁|=2|PF₂|，则△PF₁F₂面积的最大值是（　　）

• A． 2
• B． $\frac{5}{3}$
• C． $\frac{4}{3}$
• D． 1

Answer 1

分析 利用双曲线的定义求得|PF₁|，作PF₁边上的高AF₂，设|AP|=x，|AF₁|=4a-x，进而利用勾股定理求得x，AF₂，运用二次函数的配方，可得△PF₁F₂的面积的最大值．

解答 解：由题意可得2c=|F₁F₂|=2，
由双曲线的定义可得，|PF₁|-|PF₂|=2a，
由|PF₁|=2|PF₂|，可得|PF₂|=2a，|PF₁|=4a，
过F₂作AF₂⊥PF₁，垂足为A，
设|AP|=x，|AF₁|=4a-x，
由勾股定理可得|AF₂|=$\sqrt{4{a}^{2}-{x}^{2}}$=$\sqrt{4-（4a-x）^{2}}$，
解得x=$\frac{5{a}^{2}-1}{2a}$，
即有△PF₁F₂面积为$\frac{1}{2}$|AF₂|•|PF₁|=$\frac{1}{2}$（4a）•$\sqrt{4{a}^{2}-（\frac{5{a}^{2}-1}{2a}）^{2}}$
=$\sqrt{16{a}^{4}-（25{a}^{4}-10{a}^{2}+1）}$=$\sqrt{-9（{a}^{2}-\frac{5}{9}）^{2}+\frac{16}{9}}$≤$\frac{4}{3}$，
当且仅当a²=$\frac{5}{9}$，即a=$\frac{\sqrt{5}}{3}$时，取得等号．
则△PF₁F₂面积的最大值是$\frac{4}{3}$．
故选：C．

点评 本题考查双曲线方程的定义和方程及性质，考查三角形面积的最值的求法，注意运用勾股定理和二次函数的最值的求法，属于中档题．