Question

12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足（2b-c）cosA=acosC．
（Ⅰ）求角A的大小
（Ⅱ）若a=3，求△ABC的周长最大值．

Answer 1

分析 （I）法一：由已知等式及正弦定理，得2sinBcosA=sinB，结合sinB≠0，A∈（0，π），可得A的值．
法二：由已知等式及余弦定理，得$cosA=\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}=\frac{1}{2}$，结合范围A∈（0，π），即可求A的值．
（II）由（I）及正弦定理得$b=2\sqrt{3}sinB；c=2\sqrt{3}sinC$，可得△ABC的周长$l=3+2\sqrt{3}{sinB}+2\sqrt{3}sin（B+\frac{π}{3}）$=$3+6sin（B+\frac{π}{6}）$，结合范围$B∈（0，\frac{2π}{3}）$，即可求△ABC的周长最大值．

解答 （本小题满分12分）
（I）解：法一：由（2b-c）cosA=acosC及正弦定理，得（2sinB-sinC）cosA=sinAcosC，…（3分）
∴2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC，
∴2sinBcosA=sin（C+A）=sinB，
∵B∈（0，π），
∴sinB≠0，
∵A∈（0，π），
$cosA=\frac{1}{2}$，
∴$A=\frac{π}{3}$…（6分）
法二：由（2b-c）cosA=acosC及余弦定理，得$（2b-c）\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}=a\frac{{{b^2}+{a^2}-{c^2}}}{2ba}$，…（3分）
整理，得b²+c²-a²=bc，可得：$cosA=\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}=\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），
∴$A=\frac{π}{3}$．…（6分）
（II）解：由（I）得∴$A=\frac{π}{3}$，由正弦定理得$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA}=\frac{3}{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}=2\sqrt{3}$，
所以$b=2\sqrt{3}sinB；c=2\sqrt{3}sinC$，
△ABC的周长：$l=3+2\sqrt{3}{sinB}+2\sqrt{3}sin（B+\frac{π}{3}）$，…（9分）
=$3+2\sqrt{3}{sinB}+2\sqrt{3}（{sinBcos}\frac{π}{3}+cosBsin\frac{π}{3}）$
=$3+3\sqrt{3}{sinB}+3cosB$
=$3+6sin（B+\frac{π}{6}）$，
∵$B∈（0，\frac{2π}{3}）$，
当$B=\frac{π}{3}$时，△ABC的周长取得最大值为9．…（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．