Question

7．如图，平面四边形ABCD中，AB=$\sqrt{5}$，AD=2$\sqrt{2}$，CD=$\sqrt{3}$，∠CBD=30°，∠BCD=120°，求
（Ⅰ）∠ADB；
（Ⅱ）△ADC的面积S．

Answer 1

分析 （I）在△BCD中由正弦定理解出BD，在△ABD中，由余弦定解出cos∠ADB；
（II）代入三角形的面积公式计算．

解答 解：（Ⅰ）在△BCD中，由正弦定理得：$\frac{BD}{sin∠BCD}=\frac{CD}{sin∠CBD}$，
即$\frac{BD}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{1}{2}}$，解得BD=3．
在△ABD中，由余弦定理得：cos∠ADB=$\frac{A{D}^{2}+B{D}^{2}-A{B}^{2}}{2AD•BD}$=$\frac{（2\sqrt{2}）^{2}+{3}^{2}-（\sqrt{5}）^{2}}{2×2\sqrt{2}×3}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴∠ADB=45°．
（Ⅱ）∵∠CBD=30°，∠BCD=120°，∴∠CDB=30°．
∴sin∠ADC=sin（45°+30°）=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，
∴S_△ACD=$\frac{1}{2}AD$•CDsin∠ADC=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．