Question

18．已知各项均为正数的数列{a_n}满足a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n+$\frac{1}{4}$，a₁=$\frac{7}{2}$，S_n为数列{a_n}的前n项和，若对于任意的n∈N^*，不等式$\frac{4k}{12+n-2{S}_{n}}$≥1恒成立，则实数k的取值范围为$k≥\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 由各项均为正数的数列{a_n}满足a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n+$\frac{1}{4}$，a₁=$\frac{7}{2}$，变形为：a_n+1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$（a_n-$\frac{1}{2}$），利用等比数列的通项公式及其前n项和公式可得：a_n，S_n，
不等式$\frac{4k}{12+n-2{S}_{n}}$≥1化为：$k≥\frac{3}{{2}^{n}}$，再利用数列的单调性即可得出．

解答 解：∵各项均为正数的数列{a_n}满足a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n+$\frac{1}{4}$，a₁=$\frac{7}{2}$，
∴a_n+1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$（a_n-$\frac{1}{2}$），
∴数列$\{{a}_{n}-\frac{1}{2}\}$成等比数列，首项为3，公比为$\frac{1}{2}$．
∴a_n-$\frac{1}{2}$=$3×（\frac{1}{2}）^{n-1}$，可得：a_n=$\frac{1}{2}$+$3×（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
S_n=$\frac{n}{2}$+3×$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{n}{2}$+6$（1-\frac{1}{{2}^{n}}）$，
∴12+n-2S_n=$\frac{12}{{2}^{n}}$．
∴不等式$\frac{4k}{12+n-2{S}_{n}}$≥1化为：$k≥\frac{3}{{2}^{n}}$，
∵数列$\{\frac{3}{{2}^{n}}\}$单调递减，
∴$k≥\frac{3}{2}$．
故答案为：$k≥\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系、数列的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．