Question

8．已知点A（1，1），B（5，5），直线l₁：x=0和l₂：3x+2y-2=0，若点P₁、P₂分别是l₁、l₂上与A、B两点距离的平方和最小的点，则|$\overrightarrow{{P}_{1}{P}_{2}}$|等于（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． $\sqrt{10}$
• D． $\frac{\sqrt{173}}{5}$

Answer 1

分析 设P₁（0，s），P₂$（t，\frac{2-3t}{2}）$，则$|A{P}_{1}{|}^{2}$+$|B{P}_{1}{|}^{2}$=2（s-3）²+33，当s=3时取最小值，此时P₁（0，3）．$|A{P}_{2}{|}^{2}$+$|B{P}_{2}{|}^{2}$=$\frac{13}{2}{t}^{2}$+42≥42，当t=0时取等号，此时P₂（0，1）．即可得出|$\overrightarrow{{P}_{1}{P}_{2}}$|．

解答 解：设P₁（0，s），P₂$（t，\frac{2-3t}{2}）$，
则$|A{P}_{1}{|}^{2}$+$|B{P}_{1}{|}^{2}$=1+（s-1）²+5²+（s-5）²=2（s-3）²+33≥33，当s=3时取等号，此时P₁（0，3）．
$|A{P}_{2}{|}^{2}$+$|B{P}_{2}{|}^{2}$=（t-1）²+$（\frac{2-3t}{2}-1）^{2}$+（t-5）²+$（\frac{2-3t}{2}-5）^{2}$=$\frac{13}{2}{t}^{2}$+42≥42，当t=0时取等号，此时P₂（0，1）．
∴|$\overrightarrow{{P}_{1}{P}_{2}}$|=$\sqrt{0+（3-1）^{2}}$=2．
故选：B．

点评 本题考查了两点之间的距离公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．