Question

16．已知在等比数列{a_n}中，a₁+2a₂=1，a${\;}_{3}^{2}$=2a₂a₅．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n，求数列{$\frac{1}{{b}_{n}}$}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （ I）设数列{a_n}的公比为q，从而由a${\;}_{3}^{2}$=2a₂a₅及a₁+2a₂=1可解得q=$\frac{1}{2}$，a₁=$\frac{1}{2}$，从而解得；
（ II）化简b_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n=-（1+2+3+…+n）=-$\frac{n（n+1）}{2}$，故$\frac{1}{{b}_{n}}$=-2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），从而求和．

解答 解：（ I）设数列{a_n}的公比为q，
由a${\;}_{3}^{2}$=2a₂a₅得（a₁q²）²=2a₁q•a₁•q⁴，
∴q=$\frac{1}{2}$，
由a₁+2a₂=1得a₁=$\frac{1}{2}$．
故数列{a_n}的通项公式为a_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$．
（ II）b_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n=-（1+2+3+…+n）=-$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴$\frac{1}{{b}_{n}}$=-$\frac{2}{n（n+1）}$=-2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴S_n=-2[（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）]=-$\frac{2n}{n+1}$．

点评 本题考查了等比数列的性质的应用及对数运算的应用，同时考查了裂项求和法应用，属于中档题．