Question

13．已知函数f（x）=s-ke^-x的图象在x=0处的切线方程为y=x．
（1）求s，k的值；
（2）若$g（x）=mlnx-{e^{-x}}+\frac{1}{2}{x^2}-（m+1）x+1（m＞0）$，求函数h（x）=g（x）-f（x）的单调区间；
（3）若正项数列{a_n}满足${a_1}=\frac{1}{2}$，${a_n}={e^{{a_{n+1}}}}f（{a_n}）$，证明：数列{a_n}是递减数列．

Answer 1

分析 （1）由题意可得f（0）=0，f'（0）=1，解方程可得s=k=1；
（2）求得f（x）的解析式，可得h（x），求出导数，讨论0＜m＜1，m=1，m＞1，解不等式即可得到所求范围；
（3）数列{a_n}是递减数列，等价为a_n+1＜a_n，即为${e^{{a_{n+1}}}}＜{e^{a_n}}$，即为$\frac{a_n}{{1-{e^{-{a_n}}}}}＜{e^{a_n}}$即${e^{a_n}}＞{a_n}+1$，
令t（x）=e^x-x-1（x＞0），求出导数，判断符号，即有t（x）单调递增，故${e^{a_n}}＞{a_n}+1$，即可得证．

解答 解：（1）由题意得f（0）=0，f'（0）=1，
则　$\left\{\begin{array}{l}s-k=0\\ k=1\end{array}\right.$，
解得s=1，k=1；
（2）由（1）可得f（x）=1-e^-x，
由题意得$h（x）=mlnx+\frac{1}{2}{x^2}-（m+1）x（x＞0）$，
∴$h'（x）=\frac{m}{x}+x-（m+1）=\frac{（x-m）（x-1）}{x}$，
①当0＜m＜1时，令h'（x）＞0，解得0＜x＜m或1＜x，
所以h（x）在（0，m）和（1，+∞）上单调递增；
令h'（x）＜0，解得m＜x＜1，
所以h（x）在（m，1）上单调递减；
②当m=1时，h'（x）≥0，则h（x）在（0，+∞）上单调递增；
③当m＞1时，令h'（x）＞0，解得0＜x＜1或m＜x，
所以h（x）在（0，1）和（m，+∞）上单调递增；
令h'（x）＜0，解得1＜x＜m，所以h（x）在（1，m）上单调递减；
综上：当0＜m＜1时，h（x）的单调递增区间（0，m）和（1，+∞），
单调递减区间是（m，1）；
当m=1时，h（x）的单调递增区间是（0，+∞）；
当m＞1时，h（x）的单调递增区间（0，1）和（m，+∞），
单调递减区间是（1，m）．
（3）证明：∵正项数列{a_n}满足${a_1}=\frac{1}{2}$，${a_n}={e^{{a_{n+1}}}}f（{a_n}）$，
∴${e^{{a_{n+1}}}}=\frac{a_n}{{f（{a_n}）}}=\frac{a_n}{{1-{e^{-{a_n}}}}}$，
数列{a_n}是递减数列，等价为a_n+1＜a_n，
即为${e^{{a_{n+1}}}}＜{e^{a_n}}$，
即为$\frac{a_n}{{1-{e^{-{a_n}}}}}＜{e^{a_n}}$
即${e^{a_n}}＞{a_n}+1$，
令t（x）=e^x-x-1（x＞0），
∵t'（x）=e^x-1＞0（x＞0）
∴t（x）是（0，+∞）上的增函数，
∴t（x）＞t（0）=0，即e^x＞x+1，
故${e^{a_n}}＞{a_n}+1$，
∴{a_n}是递减数列．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间，考查分类讨论的思想方法，以及单调性的运用，同时考查构造法，属于中档题．