Question

2．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为矩形，平面PCD丄平面ABCD，PC丄PD，PD=AD，E为PA的中点．
（1）求证：PC∥平面BDE．
（2）求证DE丄平面PAC．

Answer 1

分析 （1）设AC，BD交于点O，连结OE，则由中位线定理得出OE∥PC，故PC∥平面BDE；
（2）由面面垂直的性质得出AD⊥平面PCD，得出PC⊥AD，又PC⊥PD，故而PC⊥平面PAD，于是PC⊥DE，又由三线合一得出DE⊥PA，故DE⊥平面PAC．

解答 解：（1）设AC∩BD=O，连结OE，
∵底面ABCD是矩形，∴O是AC的中点，
∴OE是△PAC的中位线，
∴PC∥OE，又PC?平面BDE，OE?平面BDE，
∴PC∥平面BDE．
（2）∵平面PCD丄平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，AD⊥CD，AD?平面ABCD，
∴AD⊥平面PCD，∵PC?平面PCD，
∴PC⊥AD，
又PC⊥PD，PD?平面PAD，AD?平面PAD，PD∩AD=D，
∴PC⊥平面PAD，∵DE?平面PAD，
∴PC⊥DE，
∵PD=AD，E是PA中点，
∴DE⊥PA，又PA?平面PAC，PC?平面PAC，PA∩PC=P，
∴DE⊥平面PAC．

点评 本题考查了面面垂直的性质，线面位置关系的判定，属于中档题，