Question

11．设函数f（x）=$\frac{{a}^{2}+asinx+2}{{a}^{2}+acosx+2}$（x∈R）的最大值为M（a），最小值为m（a），则M（a）•m（a）=1．

Answer 1

分析 通过函数表达式可知f（x）表示点（a²+2，a²+2）与圆x²+y²=a²上点连线的斜率，且斜率最大与最小的临界值是直线与圆相切的时候，联立直线与圆的方程，利用△=0，通过韦达定理即得结论．

解答 解：∵f（x）=$\frac{{a}^{2}+asinx+2}{{a}^{2}+acosx+2}$=$\frac{{a}^{2}+2-（-asinx）}{{a}^{2}+2-（-acosx）}$（x∈R）
∴f（x）表示点（a²+2，a²+2）与圆x²+y²=a²上点连线的斜率，
∴斜率最大与最小的临界值是直线与圆相切的时候，即△=0，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-{a}^{2}-2）+{a}^{2}+2}\\{{x}^{2}+{y}^{2}={a}^{2}}\end{array}\right.$，
消去x整理得：（1+k²）x²+2k（1-k）（a²+2）x+（1-k）²（a²+2）²-a²=0，
令△=0，即[2k（1-k）（a²+2）]²=4（1+k²）[（1-k）²（a²+2）²-a²]，
整理得：[（a²+2）²-a²]k²-2（a²+2）²k+（a²+2）²-a²=0，
由韦达定理可知：M（a）•m（a）=$\frac{（{a}^{2}+2）^{2}-{a}^{2}}{（{a}^{2}+2）^{2}-{a}^{2}}$=1，
故答案为：1．

点评 本题考查函数的最值及其几何意义，考查数形结合能力，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．