Question

10．已知抛物线C：x²=8y的焦点为F，动点Q在C上，圆Q的半径为1，过点F的直线与圆Q切于点 P，则$\overrightarrow{F{P}}•\overrightarrow{FQ}$的最小值为3．

Answer 1

分析 可作出图形，由图形可看出$\overrightarrow{FP}•\overrightarrow{FQ}=|\overrightarrow{FQ}{|}^{2}-1$，而根据抛物线的定义，|FQ|等于Q到抛物线C的准线y=-2的距离，根据图形便可看出Q到准线的最短距离为2，从而便可得出$\overrightarrow{FP}•\overrightarrow{FQ}$的最小值为3．

解答 解：如图，$\overrightarrow{FP}•\overrightarrow{FQ}={|{\overrightarrow{FP}}|^2}={|{\overrightarrow{FQ}}|^2}-{r^2}={|{\overrightarrow{FQ}}|^2}-1$；
由抛物线的定义知：$|{\overrightarrow{FQ}}|=d，d$为点Q到准线的距离，易知，抛物线的顶点到准线的距离⑥最短，${|{\overrightarrow{FQ}}|_{min}}=2$；
∴${（\overrightarrow{FP}•\overrightarrow{FQ}）_{min}}=3$；
即$\overrightarrow{FP}•\overrightarrow{FQ}$的最小值为3．
故答案为：3．

点评 考查圆心和切点连线垂直于切线，余弦函数的定义，直角三角形边的关系，以及抛物线的定义，抛物线的标准方程，抛物线的焦点和准线，以及数形结合解题的方法．