Question

17．已知数列{a_n}满足2S_n=4a_n-1．则数列{$\frac{1}{lo{g}_{2}{a}_{n+3}{lo{g}_{2}{a}_{n+2}$}的前100项和为（　　）

• A． $\frac{97}{100}$
• B． $\frac{98}{99}$
• C． $\frac{99}{100}$
• D． $\frac{100}{101}$

Answer 1

分析 通过2S_n=4a_n-1与2S_n-1=4a_n-1-1（n≥2）作差，进而可知数列{a_n}是首项为$\frac{1}{2}$、公比为2的等比数列，裂项可知$\frac{1}{lo{g}_{2}{a}_{n+3}{lo{g}_{2}{a}_{n+2}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，利用裂项相消法计算即得结论．

解答 解：∵2S_n=4a_n-1，
∴2S_n-1=4a_n-1-1（n≥2），
两式相减得：2a_n=4a_n-4a_n-1，即a_n=2a_n-1（n≥2），
又∵2S₁=4a₁-1，即a₁=$\frac{1}{2}$，
∴数列{a_n}是首项为$\frac{1}{2}$、公比为2的等比数列，a_n=$\frac{1}{2}$•2^n-1=2^n-2，
∴$\frac{1}{lo{g}_{2}{a}_{n+3}{lo{g}_{2}{a}_{n+2}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴所求值为1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{99}$-$\frac{1}{100}$+$\frac{1}{100}$-$\frac{1}{101}$=$\frac{100}{101}$，
故选：D．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题．