Question

12．函数f（x）=lg（ax³-x²+5a）在（1，2）上递减，则实数a的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{4}{13}$，$\frac{1}{3}$]
• B． （$\frac{4}{13}$，$\frac{1}{3}$]
• C． （-∞，$\frac{1}{3}$]
• D． [$\frac{1}{3}$，+∞）

Answer 1

分析 令y=ax³-x²+5a，由条件利用复合函数的单调性可得在（1，2）上，y＞0且y单调递减，故y′=3ax²-2x＜0，再利用二次函数的性质求得a的范围．

解答 解：令y=ax³-x²+5a，则f（x）=lgy，∴在（1，2）上，y＞0且y单调递减，
故y′=3ax²-2x=x（3ax-2）＜0，∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{3a}＞0}\\{8a-4+5a≥0}\\{2≤\frac{2}{3a}}\end{array}\right.$ ①，或 $\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{3a}＜0}\\{8a-4+5a＞0}\end{array}\right.$ ②．
解①可得$\frac{4}{13}$≤a≤$\frac{1}{3}$，解②求得a无解．
综上可得，$\frac{4}{13}$≤a≤$\frac{1}{3}$，
故选：A．

点评 本题主要考查复合函数的单调性，函数的单调性与导数的关系，填了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．