Question

7．如果正数a，b满足ab=a+2b+1，那么ab的取值范围是[5+2$\sqrt{6}$，+∞）．

Answer 1

分析 化简可得a+2b=ab-1，从而可得（ab-1）²≥8ab，从而解得．

解答 解：∵ab=a+2b+1，
∴a+2b=ab-1，
∴（a+2b）²=（ab-1）²，
∵（a+2b）²≥8ab，
∴（ab-1）²≥8ab，
即（ab）²-10ab+1≥0，
故0＜ab≤5-2$\sqrt{6}$或ab≥5+2$\sqrt{6}$；
而ab=a+2b+1⇒a=2b+$\frac{1}{b}$-1≥2$\sqrt{2}$-1，
于是可得ab=2（b-1）+$\frac{3}{b}$-1+5＞5-2$\sqrt{6}$，
∴ab≥5+2$\sqrt{6}$．
故答案为：[5+2$\sqrt{6}$，+∞）．

点评 本题考查了学生的化简运算能力及不等式的变形应用．