Question

15．已知函数f（x）=lnx-e^x+ax，其中a∈R，令函数g（x）=f（x）+e^x+1．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）当a=-e时，证明：g（x）≤-1；
（Ⅲ）试判断方程|g（x）|=$\frac{lnx}{x}+\frac{1}{2}$是否有实数解，并说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=1时，求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程；
（Ⅱ）求出当a=-e时，g（x）的导数和单调区间，可得最大值，进而得到证明；
（Ⅲ）方程|g（x）|=$\frac{lnx}{x}+\frac{1}{2}$没有实数解．由（Ⅱ）知，g（x）_max=-1，即|g（x）|≥1，设h（x）=$\frac{lnx}{x}+\frac{1}{2}$，x＞0，求出导数，求得单调区间，可得最大值，即可得到结论．

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=lnx-e^x+x的导数为f′（x）=$\frac{1}{x}$-e^x+1，
即有f（x）在x=1处的切线斜率为2-e，切点为（1，1-e），
可得f（x）在x=1处的切线方程为y-（1-e）=（2-e）（x-1），
即为y=（2-e）x-1；
（Ⅱ）证明：当a=-e时，g（x）=f（x）+e^x+1=lnx-ex+1，
g′（x）=$\frac{1}{x}$-e，由g′（x）=0，可得x=$\frac{1}{e}$，
当x＞$\frac{1}{e}$时，g′（x）＜0，g（x）递减；当0＜x＜$\frac{1}{e}$时，g′（x）＞0，g（x）递增．
可得g（x）在x=$\frac{1}{e}$处取得最大值，且为-1．
即有g（x）≤-1；
（Ⅲ）当a=-e时，方程|g（x）|=$\frac{lnx}{x}+\frac{1}{2}$没有实数解．
理由：由（Ⅱ）知，g（x）_max=-1，即|g（x）|≥1，
设h（x）=$\frac{lnx}{x}+\frac{1}{2}$，x＞0，h′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
令h′（x）=0，可得x=e，
由0＜x＜e可得h′（x）＞0，h（x）递增；x＞e时，可得h′（x）＜0，h（x）递减．
即有h（x）在x=e处取得最大值，且为$\frac{1}{e}$+$\frac{1}{2}$＜1，
即h（x）＜1，即|g（x）|＞h（x），可得|g（x）|＞$\frac{lnx}{x}$+1．
当a＜-e时，由g（x）的最大值小于-1，即|g（x）|≥1，方程|g（x）|=$\frac{lnx}{x}+\frac{1}{2}$没有实数解，；
当a≥0时，方程|g（x）|=$\frac{lnx}{x}+\frac{1}{2}$没有实数解；
当-e＜a＜0时，方程|g（x）|=$\frac{lnx}{x}+\frac{1}{2}$由1个或2个实数解．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查不等式的证明，注意运用转化为求函数的最值问题，考查函数和方程的转化思想的运用，属于中档题．