Question

5．已知单调递增数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=$\frac{1}{2}$（${a}_{n}^{2}$+n）．求a₁及数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 把n=1代入S_n=$\frac{1}{2}$（${a}_{n}^{2}$+n）解方程可得a₁=1，再S_n=$\frac{1}{2}$（${a}_{n}^{2}$+n）和S_n+1=$\frac{1}{2}$（a_n+1²+n+1）两式相减可得a_n+1-1=a_n或a_n+1-1=-a_n，分别结合单调性可得．

解答 解：∵S_n=$\frac{1}{2}$（${a}_{n}^{2}$+n），∴S₁=$\frac{1}{2}$（a₁²+1），
即a₁=$\frac{1}{2}$（a₁²+1），解得a₁=1，
∵S_n=$\frac{1}{2}$（${a}_{n}^{2}$+n），∴S_n+1=$\frac{1}{2}$（a_n+1²+n+1），
两式相减可得S_n+1-S_n=$\frac{1}{2}$（a_n+1²+n+1）-$\frac{1}{2}$（${a}_{n}^{2}$+n），
即a_n+1=$\frac{1}{2}$（a_n+1²-${a}_{n}^{2}$+1），即2a_n+1=a_n+1²-${a}_{n}^{2}$+1，
∴a_n+1²-2a_n+1+1=${a}_{n}^{2}$，即（a_n+1-1）²=${a}_{n}^{2}$，
∴a_n+1-1=a_n或a_n+1-1=-a_n，
当a_n+1-1=a_n时a_n+1-a_n=1，数列为公差为1的等差数列，
满足单调递增，此时{a_n}的通项公式a_n=1+n-1=n；
当a_n+1-1=-a_n时a_n+1+a_n=1，数列为摆动数列，不满足单调递增．
综上可得a₁=1，a_n=n．

点评 本题考查数列的递推公式，涉及分类讨论思想和等差数列的判定，属中档题．