Question

10．已知数列{a_n}中，a₁=1，若2a_n+1-a_n=$\frac{n-2}{n（n+1）（n+2）}$，b_n=a_n-$\frac{1}{n（n+1）}$．
（1）求证：{b_n}为等比数列，并求出{a_n}的通项公式；
（2）若C_n=nb_n+$\frac{1}{n（n+1）}$，且其前n项和为T_n，求证：T_n＜3．

Answer 1

分析 （1）利用2a_n+1-a_n=$\frac{n-2}{n（n+1）（n+2）}$，化简可知b_n+1=$\frac{1}{2}$b_n，进而计算可得结论；
（2）通过（1）分别利用错位相减法及裂项相消法计算可知数列{n•$\frac{1}{{2}^{n}}$}、{$\frac{1}{n（n+1）}$}的前n项和分别为A_n=2-（n+2）•$\frac{1}{{2}^{n}}$，B_n=$\frac{n}{n+1}$，进而放缩即得结论．

解答 证明：（1）∵2a_n+1-a_n=$\frac{n-2}{n（n+1）（n+2）}$，b_n=a_n-$\frac{1}{n（n+1）}$，
∴b_n+1=a_n+1-$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{2}$[a_n+$\frac{n-2}{n（n+1）（n+2）}$]-$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$
=$\frac{1}{2}$[a_n+$\frac{n-2}{2}$•$\frac{1}{n（n+1）}$-$\frac{n-2}{2}$•$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$]-$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$
=$\frac{1}{2}$[a_n+$\frac{n-2}{2}$•$\frac{1}{n（n+1）}$-$\frac{n-2}{2}$•$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$-2•$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$]
=$\frac{1}{2}$[a_n+$\frac{1}{n（n+1）}$]
=$\frac{1}{2}$b_n，
又∵b₁=a₁-$\frac{1}{2}$=1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴数列{b_n}是首项、公比均为$\frac{1}{2}$的等比数列，
于是b_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴a_n=b_n+$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$+$\frac{1}{n（n+1）}$；
（2）由（1）可知C_n=nb_n+$\frac{1}{n（n+1）}$=n•$\frac{1}{{2}^{n}}$+$\frac{1}{n（n+1）}$，
记数列{n•$\frac{1}{{2}^{n}}$}、{$\frac{1}{n（n+1）}$}的前n项和分别为A_n，B_n，
则B_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$，
A_n=1•$\frac{1}{2}$+2•$\frac{1}{{2}^{2}}$+3•$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+n•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}$A_n=1•$\frac{1}{{2}^{2}}$+2•$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（n-1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$+n•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
两式相减得：$\frac{1}{2}$A_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
∴A_n=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n}}$
=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n}}$
=2-（n+2）•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
于是T_n=A_n+B_n=$\frac{n}{n+1}$+2-（n+2）•$\frac{1}{{2}^{n}}$＜1+2=3．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查错位相减法，考查裂项相消法，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．