Question

2．在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，已知向量$\overrightarrow{m}$=（sin（π-C），cosC），$\overrightarrow{n}$=（sin（B+$\frac{π}{2}$），sinB），且$\overrightarrow{n}$$•\overrightarrow{n}$=sin2A．
（1）求A；
（2）若$\frac{c}{b}$+$\frac{b}{c}$=4，求sinBsinC的值．

Answer 1

分析 （1）根据$\overrightarrow{n}$$•\overrightarrow{n}$=sin2A列方程解出A．
（2）使用余弦定理得出a，b，c的关系，利用正弦定理将边化角即可得出sinBsinC和sinA的关系．

解答 解：（1）在△ABC中，∵$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{n}$=sin²（B+$\frac{π}{2}$）+sin²B=1=sin2A，
∴A=$\frac{π}{4}$．
（2）∵$\frac{c}{b}$+$\frac{b}{c}$=4，∴b²+c²=4bc．
∵cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{4bc-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴4bc-a²=$\sqrt{2}$bc，即（4-$\sqrt{2}$）bc=a²，
∴bc=$\frac{{a}^{2}}{4-\sqrt{2}}$=$\frac{4+\sqrt{2}}{14}{a}^{2}$．
∴sinBsinC=$\frac{4+\sqrt{2}}{14}si{n}^{2}A$=$\frac{4+\sqrt{2}}{28}$．

点评 本题考查了正余弦定理的应用，平面向量的数量积运算，属于中档题．