Question

14．已知直线l₁：ax+y+1=0（a＞0）与直线l₂：x+（b-4）y+2=0（b＞0）垂直，则a²+b²的最小值为8．

Answer 1

分析 由直线垂直可得b=4-a，且0＜a＜4，代入并变形可得a²+b²=2a²-8a+16，由二次函数的最值可得．

解答 解：∵直线l₁：ax+y+1=0（a＞0）与直线l₂：x+（b-4）y+2=0（b＞0）垂直，
∴a•1+1•b-4=0，即正数a、b满足a+b=4，∴b=4-a，
又b=4-a＞0可得a＜4，综合可得0＜a＜4，
∴a²+b²=a²+（4-a）²=2a²-8a+16，
∴当a=-$\frac{-8}{2×2}$=2时，上式取最小值8，
故答案为：8．

点评 本题考查直线的一般式方程和垂直关系，涉及二次函数求最值，属基础题．