Question

16．已知各项均为正数的数列{a_n}满足，对任意的正整数m，n都有a_m•a_n=2^m+n+2成立．
（Ⅰ）求数列{log₂a_n}的前n项和S_n；
（Ⅱ）设b_n=a_n•log₂a_n（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过令a_m•a_n=2^m+n+2中m=n，进而可知a_n=2ⁿ⁺¹，计算可知log₂a_n=n+1；
（Ⅱ）通过（I）可知b_n=（n+1）•2ⁿ⁺¹（n∈N^*），进而利用错位相减法计算即得结论．

解答 解：（Ⅰ）∵a_m•a_n=2^m+n+2，
∴${{a}_{n}}^{2}$=2²ⁿ⁺²，
又∵a_n＞0，
∴a_n=$\sqrt{{2}^{2n+2}}$=2ⁿ⁺¹，
∴log₂a_n=log₂2ⁿ⁺¹=n+1；
（Ⅱ）由（I）可知b_n=a_n•log₂a_n=（n+1）•2ⁿ⁺¹（n∈N^*），
∴T_n=2•2²+3•2³+…+（n+1）•2ⁿ⁺¹，
2T_n=2•2³+3•3⁴+…+n•2ⁿ⁺¹+（n+1）•2ⁿ⁺²，
两式相减得：-T_n=2•2²+2³+3⁴+…+2ⁿ⁺¹-（n+1）•2ⁿ⁺²，
整理得：T_n=（n+1）•2ⁿ⁺²-4-（2²+2³+3⁴+…+2ⁿ⁺¹）
=（n+1）•2ⁿ⁺²-4-$\frac{4（1-{2}^{n}）}{1-2}$
=（n+1）•2ⁿ⁺²-4+4-2ⁿ⁺²
=n•2ⁿ⁺²．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查错位相减法，注意解题方法的积累，属于中档题．