Question

11．已知向量$\overrightarrow a=（m，n）（m≥0，n≥0），\overrightarrow b=（2，-3），\overrightarrow c=（3，-2）$，满足$\overrightarrow a•\overrightarrow b≥$-3，且$\overrightarrow a•\overrightarrow c≤3$，则$|\overrightarrow a|$的最大值为3$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据条件可以得出m，n满足的条件为$\left\{\begin{array}{l}{2m-3n≥-3}\\{3m-2n≤3}\\{m≥0}\\{n≥0}\end{array}\right.$，可以作出该不等式组所表示的平面区域，根据图形即可求出圆m²+n²=r²的半径的最大值，即得出$|\overrightarrow{a}|$的最大值．

解答 解：由$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}≥-3$且$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}≤3$得：$\left\{\begin{array}{l}{2m-3n≥-3}\\{3m-2n≤3}\\{m≥0}\\{n≥0}\end{array}\right.$；
该不等式表示的平面区域如图阴影部分所示：
解$\left\{\begin{array}{l}{2m-3n=-3}\\{3m-2n=3}\end{array}\right.$得，$\left\{\begin{array}{l}{m=3}\\{n=3}\end{array}\right.$；
∴圆m²+n²=r²过A（3，3）时半径最大；
∴9+9=r²；
∴$r=3\sqrt{2}$，$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$；
∴$|\overrightarrow{a}|$的最大值为$3\sqrt{2}$．
故答案为：$3\sqrt{2}$．

点评 考查向量数量积的坐标运算，根据向量的坐标求向量的长度，以及能作出不等式组所表示的平面区域，线性规划的方法求最值．