Question

7．已知数列{a_n}，a₁=1，a_n+1=2a_n+（-1）ⁿ（n∈N^*）．
（1）是否存在实数λ，使得数列{a_2n-1+λ}成等比数列，若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）化简可得a_2n+1=2a_2n+1，a_2n=2a_2n-1-1，从而可得（a_2n+1-$\frac{1}{3}$）=4（a_2n-1-$\frac{1}{3}$），从而判断；
（2）由（1）知a_2n-1-$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{3}$•4^n-1，从而可得a_2n-1+a_2n=2•4^n-1，从而分类讨论即可．

解答 解：（1）∵a_n+1=2a_n+（-1）ⁿ，
∴a_2n+1=2a_2n+（-1）²ⁿ，a_2n=2a_2n-1+（-1）^2n-1，
即a_2n+1=2a_2n+1，a_2n=2a_2n-1-1，
a_2n+1=2（2a_2n-1-1）+1=4a_2n-1-1，
即（a_2n+1-$\frac{1}{3}$）=4（a_2n-1-$\frac{1}{3}$），
∵a₁-$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{3}$≠0，
∴当λ=-$\frac{1}{3}$时，数列{a_2n-1-$\frac{1}{3}$}是以$\frac{2}{3}$为首项，4为公比的等比数列，
（2）由题意知，a_2n-1-$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{3}$•4^n-1，
故a_2n-1=$\frac{2}{3}$•4^n-1+$\frac{1}{3}$，故a_2n=2（$\frac{2}{3}$•4^n-1+$\frac{1}{3}$）-1=$\frac{{4}^{n}}{3}$-$\frac{1}{3}$，
故a_2n-1+a_2n=2•4^n-1，
①当n为奇数时，
S_n=1+3+5+11+…+$\frac{{4}^{\frac{n-1}{2}}}{3}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{2}{3}$•${4}^{\frac{n-1}{2}}$+$\frac{1}{3}$
=2•${4}^{\frac{n-1}{2}}$+$\frac{2}{3}$•${4}^{\frac{n-1}{2}}$+$\frac{1}{3}$
=$\frac{8}{3}$•${4}^{\frac{n-1}{2}}$+$\frac{1}{3}$；
②当n为偶数时，
S_n=1+3+5+11+…+$\frac{{4}^{\frac{n}{2}}}{3}$-$\frac{1}{3}$=2•${4}^{\frac{n}{2}-1}$．

点评 本题考查了分类讨论的思想应用及构造法的应用．