Question

15．点M到椭圆4x²+$\frac{16{y}^{2}}{3}$=1右焦点F₂的距离和它到经过左焦点F₁且与x轴垂直的直线距离相等．
（1）求点M的轨迹方程；
（2）若正方形ABCD的顶点A，B在点M的轨迹上，顶点C，D在直线y=x+4上，求正方形的边长．

Answer 1

分析 （1）求得椭圆的a，b，c，可得左右焦点，运用抛物线的定义，即可得到M的轨迹方程；
（2）设出AB的直线方程，通过与抛物线联立方程，利用弦长公式求出AB的距离，通过AB的距离等于AD距离，求出直线AB方程，即可得到正方形的边长．

解答 解：（1）椭圆4x²+$\frac{16{y}^{2}}{3}$=1即为$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{4}}$+$\frac{{y}^{2}}{\frac{3}{16}}$=1，
可得a=$\frac{1}{2}$，b=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\frac{1}{4}$，
由题意可得M到点F₂（$\frac{1}{4}$，0）的距离和到直线x=-$\frac{1}{4}$的距离相等，
由抛物线的定义可得，M的轨迹为以F₂为焦点，直线x=-$\frac{1}{4}$为准线的抛物线，
其方程为y²=x；
（2）设直线l：y=x+b与抛物线交于A，B两点，
联立方程$\left\{\begin{array}{l}{y=x+b}\\{{y}^{2}=x}\end{array}\right.$，即有y²-y+b=0，
可得△=1-4b＞0，y₁+y₂=1，y₁y₂=b，
|AB|=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{1-4b}$，
∵|AD|=$\frac{|b-4|}{\sqrt{2}}$，
∴=$\sqrt{2}$•$\sqrt{1-4b}$=$\frac{|b-4|}{\sqrt{2}}$，
化为b²+8b+12=0，解得b=-2或-6，
∴正方形的边长为$\frac{|b-4|}{\sqrt{2}}$=3$\sqrt{2}$或5$\sqrt{2}$．

点评 本题考查轨迹方程的求法，注意运用抛物线的定义，考查正方形的边长的求法，解答的关键是直线AB的设法，弦长公式的应用是解题的难点也是易错点，考查计算能力，转化思想，属于中档题．