Question

4．设$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$是不共线的两个向量，已知$\overrightarrow{AB}$=2k$\overrightarrow{a}$+（k²-2）$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$，若A、B、D三点共线，求k的值．

Answer 1

分析 根据平面向量的线性运算与共线定理，列出方程即可求出k的值．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$是不共线的两个向量，不妨设为基底，
又$\overrightarrow{AB}$=2k$\overrightarrow{a}$+（k²-2）$\overrightarrow{b}$=（2k，k²-2），
$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CD}$=2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=（2，-1）；
又A、B、D三点共线，
∴$\overrightarrow{AB}$∥$\overrightarrow{BD}$，
即2（k²-2）-2k×（-1）=0，
整理得k²+k-2=0，
解得k=1或k=-2．

点评 本题考查了平面向量的线性运算与共线定理的应用问题，是基础题目．