Question

10．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别F₁（-$\sqrt{2}$，0），F₂（$\sqrt{2}$，0），直线x+$\sqrt{2}$y=0与椭圆C的一个交点为（-$\sqrt{2}$，1），点A是椭圆C上的任意一点，延长AF₁交椭圆C于点B，连接BF₂，AF₂
（1）求椭圆C的方程；
（2）求△ABF₂的内切圆的最大周长．

Answer 1

分析 （1）由题意可得c=$\sqrt{2}$，把点的坐标代入椭圆方程，结合隐含条件求得a²=4，b²=2．则椭圆方程可求；
（2）设出AB所在直线方程x=ty-$\sqrt{2}$，联立直线方程和椭圆方程，由根与系数的关系得到A，B的纵坐标的和与积，求出|y₁-y₂|取最大值时的t值，得到A的坐标，由圆心到三边的距离相等求得最大内切圆的半径，则答案可求．

解答 解：（1）由题意得，c=$\sqrt{2}$，
由点（-$\sqrt{2}$，1）在椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上，
得$\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1$，①
又a²=b²+c²，∴a²=b²+2，②
联立①②解得：a²=4，b²=2．
∴椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）如图，设AB所在直线方程为x=ty-$\sqrt{2}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=ty-\sqrt{2}}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，消去x得：$（{t}^{2}+2）{y}^{2}-2\sqrt{2}ty-2=0$．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{2\sqrt{2}t}{{t}^{2}+2}，{y}_{1}{y}_{2}=\frac{-2}{{t}^{2}+2}$，
$|{y}_{1}-{y}_{2}|=\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{（\frac{2\sqrt{2}t}{{t}^{2}+2}）^{2}+\frac{8}{{t}^{2}+2}}$=$4\sqrt{\frac{{t}^{2}+1}{（{t}^{2}+1+1）^{2}}}$
=$4\sqrt{\frac{{t}^{2}+1}{（{t}^{2}+1）^{2}+2（{t}^{2}+1）+1}}$=$\sqrt{\frac{1}{（{t}^{2}+1）+\frac{1}{{t}^{2}+1}+2}}$$≤\sqrt{\frac{1}{2\sqrt{（{t}^{2}+1）•\frac{1}{{t}^{2}+1}}+2}}=\frac{1}{2}$．
当且仅当${t}^{2}+1=\frac{1}{{t}^{2}+1}$，即t=0时上式等号成立．
∴当AB所在直线方程为x=-$\sqrt{2}$时，△ABF₂的面积最大，内切圆得半径最大，
设内切圆得圆心为（m，0），
AF₂所在直线方程为$\frac{y}{1-0}=\frac{x-\sqrt{2}}{-\sqrt{2}-\sqrt{2}}$，整理得$x+2\sqrt{2}y-\sqrt{2}=0$．
由$m+\sqrt{2}=\frac{|m-\sqrt{2}|}{3}$，解得m=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴△ABF₂的内切圆的最大半径为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
则△ABF₂的内切圆的最大周长为2π•$\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}π$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查了椭圆的简单性质，体现了数学转化思想方法，训练了利用基本不等式求最值，属中档题．