Question

2．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆弧AB的三等分点，若$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{b}$，则$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$．（用a，b表示）

Answer 1

分析 连结CD、OD，由圆的性质与等腰三角形的性质，证出CD∥AB且AC∥DO，得到四边形ACDO为平行四边形，再根据题设条件即可得到用表示向量的式子．

解答 解：如图示：

连结CD、OD，
∵点C、D是半圆弧AB的两个三等分点，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{BD}$，可得CD∥AB，∠CAD=∠DAB=$\frac{1}{3}$×90°=30°，
∵OA=OD，
∴∠ADO=∠DAO=30°，
由此可得∠CAD=∠DAO=30°，
∴AC∥DO．
∴四边形ACDO为平行四边形，
∴$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，
故答案为：$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$．

点评 本题给出半圆弧的三等分点，求向量的线性表示式．着重考查了圆周角定理、平行四边形的判定与向量的线性运算等知识，属于中档题．