Question

13．设a=${∫}_{0}^{π}$$\sqrt{2}$cos（x-$\frac{π}{4}$）dx，则二项式（a$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁴中展开式中含x项的系数是（　　）

• A． -32
• B． 32
• C． -8
• D． 8

Answer 1

分析 先根据定积分的计算求出a的值，再根据二项式定理即可求出答案．

解答 解：a=${∫}_{0}^{π}$$\sqrt{2}$cos（x-$\frac{π}{4}$）dx=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$）|${\;}_{0}^{π}$=$\sqrt{2}$[sin$\frac{3π}{4}$-sin（-$\frac{π}{4}$）]=2，
∴（2$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁴的展开式的通项公式为T=C₄^k（2$\sqrt{x}$）^4-k（-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）^k=T=C₄^k（2）^4-k（-1）^k（$\sqrt{x}$）^4-2k=C₄^k（-1）^k（2）^4-kx^2-k，
当2-k=1时，即k=1时，
∴T=-C₄¹（2）^4-1x^2-1=-32x，
故选：A．

点评 本题考查了定积分的计算和二项式定理，属于中档题．