Question

8．已知点P（0，2）和圆C：x²+y²-8x+11=0．
（1）求过点P，点C和原点三点圆的方程；
（2）求以点P为圆心且与圆C外切的圆的方程．

Answer 1

分析 （1）化圆C的方程为标准方程，求出圆C的圆心坐标和半径，再设过点P，点C和原点三点圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0．代入点的坐标可得关于D、E、F的三元一次方程组，求出D、E、F的值得所求圆的方程；
（2）求出P与C的距离，减去已知圆的半径得到要求圆的半径，代入圆的标准方程得答案．

解答 解：（1）化圆C：x²+y²-8x+11=0为（x-4）²+y²=5
则圆心C（4，0），半径r=$\sqrt{5}$，
设过点P，点C和原点三点圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0．
代入点的坐标得：$\left\{\begin{array}{l}{F=0}\\{{2}^{2}+2E+F=0}\\{{4}^{2}+4D+F=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{F=0}\\{2E+F+4=0}\\{4D+F+16=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{D=-4}\\{E=-2}\\{F=0}\end{array}\right.$．
∴过点P，点C和原点三点圆的方程为x²+y²-4x-2y=0；
（2）如图，∵C（4，0），P（0，2），
∴|PC|=$\sqrt{（4-0）^{2}+（0-2）^{2}}=2\sqrt{5}$，
又圆C的半径r=$\sqrt{5}$，且圆P与圆C外切，
∴圆P的半径为$2\sqrt{5}-\sqrt{5}=\sqrt{5}$．
则以点P为圆心且与圆C外切的圆的方程为x²+（y-2）²=5．

点评 本题考查圆的一般式方程，考查了圆与圆位置关系的应用，是中档题．