Question

3．已知$3{cos^2}（{π+x}）+5cos（{\frac{π}{2}-x}）=1$，则tanx=$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$或$-\frac{{\sqrt{2}}}{4}$．

Answer 1

分析 利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简已知可得3sin²x-5sinx-2=0，从而解得sinx的值，进而利用同角三角函数基本关系式可求cosx，tanx的值．

解答 解：∵$3{cos^2}（{π+x}）+5cos（{\frac{π}{2}-x}）=1$，化简可得：3cos²x+5sinx=1，
∴3sin²x-5sinx-2=0，
∴解得：sinx=2（舍去）或-$\frac{1}{3}$，
∴cosx=±$\sqrt{1-si{n}^{2}x}$=±$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴tanx=$\frac{sinx}{cosx}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$或$-\frac{{\sqrt{2}}}{4}$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$或$-\frac{{\sqrt{2}}}{4}$．

点评 本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．