Question

15．已知函数f（x）=$\frac{{x}^{2}+3}{|x-1|}$，g（x）=1+kcosx，则f（x）的值域是[2，+∞），若对任意的x₁，x₂∈R，均有f（x₁）≥g（x₂），则实数k的取值范围是[-1，1]．

Answer 1

分析 根据分式函数的性质结合基本不等式的性质进行分解求解即可得函数的值域，根据不等式恒成立转化为求函数的最值问题即可得到结论．

解答 解：f（x）=$\frac{{x}^{2}+3}{|x-1|}$=$\frac{（x-1）^{2}+2（x-1）+4}{|x-1|}$=|x-1|+$\frac{2（x-1）}{|x-1|}$+$\frac{4}{|x-1|}$，
若x＞1，则f（x）=（x-1）+$\frac{4}{x-1}$+2≥2$\sqrt{（x-1）•\frac{4}{x-1}}$+2=4+2=6，当且仅当x-1=$\frac{4}{x-1}$，即x-1=2，x=3时取等号，
若x＜1，则f（x）=-（x-1）-$\frac{4}{x-1}$-2=1-x+$\frac{4}{1-x}$-2≥2$\sqrt{（1-x）•\frac{4}{1-x}}$-2=4-2=2，当且仅当-（x-1）=-$\frac{4}{x-1}$，即1-x=2，x=-1时取等号，
综上f（x）≥2，即函数f（x）的值域为[2，+∞），
若对任意的x₁，x₂∈R，均有f（x₁）≥g（x₂），
则等价为f（x）_min≥g（x）_max，
即2≥g（x）恒成立，
即2≥1+kcosx，即kcosx≤1，
若k=0，不等式成立，
若k＞0，则不等式等价为cosx≤$\frac{1}{k}$，
即1≤$\frac{1}{k}$，则0＜k≤1，
若k＜0，则不等式等价为cosx≥$\frac{1}{k}$，
即-1≥$\frac{1}{k}$，则-1≤k＜0，
综上-1≤k≤1，
故答案为：[2，+∞），[-1，1]

点评 本题主要考查函数值域的求解以及函数最值的应用，利用参数分离法转化为求函数的最值问题是解决本题的关键．