Question

5．已知△ABC的外接圆半径为R，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若b（$\sqrt{2}$sinA-sinB）+2R（sin²C-sin²A）=0．则sinC的值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 根据正弦定理得出a，b，c的关系，利用余弦定理解出cosC，得出sinC．

解答 解：由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}=2R$，∴2RsinA=a，2RsinC=c．
∵b（$\sqrt{2}$sinA-sinB）+2R（sin²C-sin²A）=0，
∴$\sqrt{2}$bsinA-bsinB+csinC-asinA=0．
∴$\sqrt{2}ab$-b²+c²-a²=0，即a²+b²-c²=$\sqrt{2}ab$．
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即C=$\frac{π}{4}$．
∴sinC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．