Question

8．已知等差数列{a_n}满足a₁+a₃=8，a₂+a₄=12．
（Ⅰ）求数列{a_n}的前n项和为S_n；
（Ⅱ）若$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{999}{1000}$，求n的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过a₁+a₃=8，a₂+a₄=12与等差中项的性质可知a₂=4，a₃=6，进而可知公差及首项，利用等差数列的求和公式计算即得结论；
（Ⅱ）通过（I）裂项可知$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，进而并项相加并与已知条件比较即得结论．

解答 解：（Ⅰ）∵a₁+a₃=8，a₂+a₄=12，
∴a₂=4，a₃=6，
∴等差数列{a_n}的公差d=a₃-a₂=6-4=2，
首项a₁=a₂-d=4-2=2，
∴数列{a_n}是首项、公差均为2的等差数列，
于是其前n项和为S_n=2•$\frac{n（n+1）}{2}$=n（n+1）；
（Ⅱ）由（I）可知，$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$，
又∵$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{999}{1000}$，
∴$\frac{n}{n+1}$=$\frac{999}{1000}$，即n=999．

点评 本题通过等差数列的定义、通项公式、前n项和及裂项相消法求和等知识，考查考生运算求解与推理论证能力，注意解题方法的积累，属于中档题．