Question

17．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sin2x-2cos²x，下面结论中错误的是（　　）

• A． 函数f（x）的最小正周期为π
• B． 函数f（x）的图象关于x=$\frac{π}{3}$对称
• C． 函数f（x）的图象可由g（x）=2sin2x-1的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位得到
• D． 函数f（x）在区间[0，$\frac{π}{4}$]上是增函数

Answer 1

分析 由三角函数公式化简可得f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1，由三角函数的图象和性质，逐个选项验证可得．

解答 解：f（x）=$\sqrt{3}$sin2x-2cos²x
=$\sqrt{3}$sin2x-1-cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1，
由周期公式可得T=$\frac{2π}{2}$=π，选项A正确；
由2x-$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$可得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
故当k=0时，可得函数一条对称轴为x=$\frac{π}{3}$，选项B正确；
g（x）=2sin2x-1的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位得到y=2sin2（x-$\frac{π}{6}$）-1=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）-1的图象，
而不是f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1的图象，选项C错误；
由kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤kπ+$\frac{π}{2}$可得$\frac{1}{2}$kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
∴函数的单调递增区间为[$\frac{1}{2}$kπ-$\frac{π}{6}$，$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{3}$]，
显然f（x）在区间[0，$\frac{π}{4}$]上是增函数，选项D正确．
故选：C．

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的图象和性质，属中档题．