Question

5．已知函数f（x）=lnx-ax²，且函数f（x）在点（2，f（2））处 的切线的一个方向向量是（2，-3）．
（1）若关于x的方程f（x）+$\frac{3}{2}$x²=3x-b在区间[$\frac{1}{2}$，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；
（2）证明：$\sum_{k=2}^{n}$$\frac{1}{{\frac{1}{2}k}^{2}+f（k）}$＞$\frac{n-1}{2（n+1）}$（n∈N^*，且n≥2）

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求得切线的斜率，解方程可得a的值，由题意可得lnx+x²-3x=-b在[$\frac{1}{2}$，2]上恰有两个不相等的实数根，即为g（x）=lnx+x²-3x和直线y=-b在[$\frac{1}{2}$，2]上有两个交点，求得g（x）的导数，可得单调区间，即可得到所求b的范围；
（2）可得当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）递减．即有lnx-$\frac{1}{2}$x²＜-$\frac{1}{2}$，即为lnx＜$\frac{1}{2}$（x²-1），即有$\frac{1}{lnx}$＞$\frac{2}{{x}^{2}-1}$=$\frac{1}{x-1}$-$\frac{1}{x+1}$，可令x=2，3，…，n，累加即可得证．

解答 解：（1）函数f（x）=lnx-ax²的导数为f′（x）=$\frac{1}{x}$-2ax，
由题意可得在点（2，f（2））处的切线斜率为$\frac{1}{2}$-4a=-$\frac{3}{2}$，
解得a=$\frac{1}{2}$，
即有f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$x²，
由题意可得lnx+x²-3x=-b在[$\frac{1}{2}$，2]上恰有两个不相等的实数根，
即为g（x）=lnx+x²-3x和直线y=-b在[$\frac{1}{2}$，2]上有两个交点，
由g（x）的导数为g′（x）=$\frac{1}{x}$+2x-3=$\frac{（2x-1）（x-1）}{x}$，
当$\frac{1}{2}$＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）递减；
当1＜x＜2时，g′（x）＞0，g（x）递增．
则有g（1）＜-b≤g（$\frac{1}{2}$），
即为-2＜-b≤-ln2-$\frac{5}{4}$，解得ln2+$\frac{5}{4}$≤b＜2；
（2）证明：由f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$x²的导数为f′（x）=$\frac{1}{x}$-x=$\frac{1-{x}^{2}}{x}$，
当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）递减．
即有lnx-$\frac{1}{2}$x²＜-$\frac{1}{2}$，即为lnx＜$\frac{1}{2}$（x²-1），
即有$\frac{1}{lnx}$＞$\frac{2}{{x}^{2}-1}$=$\frac{1}{x-1}$-$\frac{1}{x+1}$，
则有$\frac{1}{ln2}$+$\frac{1}{ln3}$+…+$\frac{1}{lnn}$＞1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n-2}$-$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$
=1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{3{n}^{2}-n-2}{2n（n+1）}$=$\frac{（3n+2）（n-1）}{2n（n+1）}$
=（3+$\frac{2}{n}$）•$\frac{n-1}{2（n+1）}$＞$\frac{n-1}{2（n+1）}$．
所以$\sum_{k=2}^{n}$$\frac{1}{{\frac{1}{2}k}^{2}+f（k）}$＞$\frac{n-1}{2（n+1）}$（n∈N^*，且n≥2）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性，考查函数方程的转化思想和不等式的证明，注意运用函数的单调性和累加法，考查运算能力，属于中档题．