Question

14．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足2S_n=3a_n-1，其中n∈N^*．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设a_nb_n=$\frac{{3}^{n}}{{n}^{2}+n}$，求数列{b_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

分析 （ I）分n=1与n≥2讨论，从而判断出{a_n}是等比数列，从而求通项公式；
（ II）化简可得${b_n}=\frac{3}{{{n^2}+n}}$=3（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），利用裂项求和法求解．

解答 解：（ I）∵${S_n}=\frac{3}{2}{a_n}-\frac{1}{2}\;（n∈{N^*}）$，①
当n=1时，a₁=$\frac{3}{2}$a₁-$\frac{1}{2}$，∴a₁=1，
当n≥2时，∵S_n-1=$\frac{3}{2}$a_n-1-$\frac{1}{2}$，②
①-②得：
a_n=$\frac{3}{2}$a_n-$\frac{3}{2}$a_n-1，
即：a_n=3a_n-1（n≥2），
又∵a₁=1，a₂=3，
∴$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=3$对n∈N^*都成立，
故{a_n}是等比数列，
∴${a_n}={3^{n-1}}\;（n∈{N^*}）$．
（ II）∵${a_n}{b_n}=\frac{3^n}{{{n^2}+n}}$，
∴${b_n}=\frac{3}{{{n^2}+n}}$=3（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴${T_n}=3（1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n-1}）$，
∴${T_n}=3（1-\frac{1}{n+1}）=3-\frac{3}{n+1}$，
即T_n=$\frac{3n}{n+1}$．

点评 本题考查了等比数列的应用及分类讨论的思想应用，同时考查了裂项求和法的应用．