Question

20．已知函数f（x）=e^x，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）若m＞0，讨论函数g（x）=f（x）-m（x-1）²零点的个数．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到所求方程；
（Ⅱ）由题意可得m=$\frac{{e}^{x}}{（x-1）^{2}}$，令h（x）=$\frac{{e}^{x}}{（x-1）^{2}}$，求得导数和单调区间、极值，由图象讨论m的范围，即可得到所求零点的个数．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=e^x的导数为f′（x）=e^x，
函数f（x）在x=1处的切线斜率为k=e，切点为（1，e），
可得函数f（x）在x=1处的切线方程为y-e=e（x-1），
即为y=ex；
（Ⅱ）若m＞0，f（x）-m（x-1）²=0，可得
m=$\frac{{e}^{x}}{（x-1）^{2}}$，
令h（x）=$\frac{{e}^{x}}{（x-1）^{2}}$，
可得h′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）（x-3）}{（x-1）^{4}}$，
当x＞3或x＜1时，h′（x）＞0，h（x）递增；
当1＜x＜3时，h′（x）＜0，h（x）递减．
即有x=3处取得极小值，且为$\frac{{e}^{3}}{4}$；
当0＜m＜$\frac{{e}^{3}}{4}$时，有1个交点，即为1个零点；
当m=$\frac{{e}^{3}}{4}$时，有2个交点，即为2个零点；
当m＞$\frac{{e}^{3}}{4}$时，有3个交点，即为3个零点．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值，考查函数方程的转化思想的运用，注意运用参数分离和构造函数，判断单调性和极值，考查运算能力，属于中档题．