Question

11．设函数$f（x）=\frac{2}{3}+\frac{1}{x}（{x＞0}）$，数列{a_n}满足${a_1}=1，{a_n}=f（{\frac{1}{{{a_{n-1}}}}}）$，n∈N^*，且n≥2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）对n∈N^*，设${S_n}=\frac{1}{{{a_1}{a_2}}}+\frac{1}{{{a_2}{a_3}}}+\frac{1}{{{a_3}{a_4}}}+…+\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，若${S_n}≥\frac{3t}{4n}$恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过代入计算可知a_n-a_n-1=$\frac{2}{3}$（n≥2），进而可知数列{a_n}是首项为1、公差为$\frac{2}{3}$的等差数列，计算即得结论；
（2）通过（1）裂项可知$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{9}{2}$（$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$），进而并项相加可知S_n=$\frac{3n}{2n+3}$，问题转化为求$\frac{4{n}^{2}}{2n+3}$的最小值，通过令g（x）=$\frac{4{x}^{2}}{2x+3}$（x＞0），求导可知g（x）为增函数，进而计算可得结论．

解答 解：（1）依题意，a_n-a_n-1=$\frac{2}{3}$（n≥2），
又∵a₁=1，
∴数列{a_n}是首项为1、公差为$\frac{2}{3}$的等差数列，
故其通项公式a_n=1+$\frac{2}{3}$（n-1）=$\frac{2n+1}{3}$；
（2）由（1）可知a_n+1=$\frac{2n+3}{3}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{9}{2}$（$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$），
∴${S_n}=\frac{1}{{{a_1}{a_2}}}+\frac{1}{{{a_2}{a_3}}}+\frac{1}{{{a_3}{a_4}}}+…+\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$
=$\frac{9}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$）
=$\frac{3n}{2n+3}$，
${S_n}≥\frac{3t}{4n}$恒成立等价于$\frac{3n}{2n+3}$≥$\frac{3t}{4n}$，即t≤$\frac{4{n}^{2}}{2n+3}$恒成立．
令g（x）=$\frac{4{x}^{2}}{2x+3}$（x＞0），则g′（x）=$\frac{8x（x+3）}{（2x+3）^{2}}$＞0，
∴g（x）=$\frac{4{x}^{2}}{2x+3}$（x＞0）为增函数，
∴当n=1时$\frac{4{n}^{2}}{2n+3}$取最小值$\frac{4}{5}$，
故实数t的取值范围是（-∞，$\frac{4}{5}$]．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查裂项相消法，考查利用导数判断函数的单调性，注意解题方法的积累，属于中档题．