Question

16．设单位向量$\overrightarrow{e_1}$与$\overrightarrow{e_2}$既不平行也不垂直，对非零向量$\overrightarrow a={x_1}\overrightarrow{e_1}+{y_1}\overrightarrow{e_2}$、$\overrightarrow b={x_2}\overrightarrow{e_1}+{y_2}\overrightarrow{e_2}$有结论：
①若x₁y₂-x₂y₁=0，则$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$；
②若x₁x₂+y₁y₂=0，则$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$．
关于以上两个结论，正确的判断是（　　）

• A． ①成立，②不成立
• B． ①不成立，②成立
• C． ①成立，②成立
• D． ①不成立，②不成立

Answer 1

分析 ①假设存在实数λ使得$\overrightarrow{a}$=$λ\overrightarrow{b}$，则${x}_{1}\overrightarrow{{e}_{1}}+{y}_{1}\overrightarrow{{e}_{2}}$=λ$（{x}_{2}\overrightarrow{{e}_{1}}+{y}_{2}\overrightarrow{{e}_{2}}）$，由于向量$\overrightarrow{e_1}$与$\overrightarrow{e_2}$既不平行也不垂直，可得x₁=λx₂，y₁=λy₂，即可判断出结论．
②若x₁x₂+y₁y₂=0，则$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=（${x}_{1}\overrightarrow{{e}_{1}}+{y}_{1}\overrightarrow{{e}_{2}}$）•$（{x}_{2}\overrightarrow{{e}_{1}}+{y}_{2}\overrightarrow{{e}_{2}}）$=x₁x₂+y₁y₂+（x₂y₁+x₁y₂）$\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}$=（x₂y₁+x₁y₂）$\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}$，无法得到$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，因此$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$不一定正确．

解答 解：①假设存在实数λ使得$\overrightarrow{a}$=$λ\overrightarrow{b}$，则${x}_{1}\overrightarrow{{e}_{1}}+{y}_{1}\overrightarrow{{e}_{2}}$=λ$（{x}_{2}\overrightarrow{{e}_{1}}+{y}_{2}\overrightarrow{{e}_{2}}）$，∵向量$\overrightarrow{e_1}$与$\overrightarrow{e_2}$既不平行也不垂直，∴x₁=λx₂，y₁=λy₂，
满足x₁y₂-x₂y₁=0，因此$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$．
②若x₁x₂+y₁y₂=0，
则$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=（${x}_{1}\overrightarrow{{e}_{1}}+{y}_{1}\overrightarrow{{e}_{2}}$）•$（{x}_{2}\overrightarrow{{e}_{1}}+{y}_{2}\overrightarrow{{e}_{2}}）$=x₁x₂+y₁y₂+（x₂y₁+x₁y₂）$\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}$=（x₂y₁+x₁y₂）$\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}$，无法得到$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，因此$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$不一定正确．
故选：A．

点评 本题考查了向量共线定理、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．