Question

6．已知正数列{a_n}的前n项和S_n满足$4{S_n}=a_n^2+2{a_n}+1$．
（ I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）符号[x]表示不超过实数x的最大整数，如[log₂3]=1，[log₂5]=2．记${b_n}=[{log_2}\frac{{{a_n}+3}}{2}]$，求数列$\{{2^n}•{b_{2^n}}\}$的前n和T_n．

Answer 1

分析 （I）由$4{S_n}=a_n^2+2{a_n}+1$，当n=1时，4a₁=${a}_{1}^{2}+2{a}_{1}$+1，化为$（{a}_{1}-1）^{2}$=0，解得a₁．当n≥2时，化为：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，由于a_n＞0，可得a_n-a_n-1=2．利用等差数列的通项公式即可得出．
（II）由（I）可知：a_n=2n-1，可得${b_n}=[{log_2}\frac{{{a_n}+3}}{2}]$=[log₂（n+1）]，利用[x]的定义可得：${b}_{{2}^{n}}$=$[lo{g}_{2}（{2}^{n}+1）]$=n．再利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出数列$\{{2^n}•{b_{2^n}}\}$的前n和T_n．

解答 解：（I）∵$4{S_n}=a_n^2+2{a_n}+1$，
∴当n=1时，4a₁=${a}_{1}^{2}+2{a}_{1}$+1，化为$（{a}_{1}-1）^{2}$=0，解得a₁=1．
当n≥2时，4（S_n-S_n-1）=${a}_{n}^{2}$+2a_n+1-$（{a}_{n-1}^{2}+2{a}_{n-1}+1）$，化为：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（II）由（I）可知：a_n=2n-1，可得${b_n}=[{log_2}\frac{{{a_n}+3}}{2}]$=[log₂（n+1）]，
由[x]的定义可知：b₂=[log₂3]=1，b₄=[log₂5]=2，…，
∴${b}_{{2}^{n}}$=$[lo{g}_{2}（{2}^{n}+1）]$=n．
∴数列$\{{2^n}•{b_{2^n}}\}$的前n和T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
2T_n=2²+2×2³+…+（n-1）×2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=$\frac{2×（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、新定义函数[x]的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．