Question

1．已知函数f（x）=a（x-1）（e^x-a）（常数a∈R且a≠0）
（Ⅰ）若函数f（x）在（0，f（0））处的切线与直线y=x垂直，求a的值；
（Ⅱ）若对任意x∈[1，+∞）都有f（x）≥x²-x，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，解方程可得a的值；
（Ⅱ）由题意可得a（e^x-a）≥x在x∈（1，+∞）上恒成立，令g（x）=a（e^x-a）-x，求出导数，对a讨论，a＜0，a＞0，求得单调区间和极值、最值，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：（Ⅰ）依题意，f（x）的导数为f'（x）=a（x•e^x-a）．
由f（x）在（0，f（0））处切线与直线y=x垂直，
可得f'（0）=-a²=-1，
解得a=±1；                                                 
（Ⅱ）依题意，“对任意x∈[1，+∞），f（x）≥x²-x”
等价于“a（e^x-a）≥x在x∈（1，+∞）上恒成立”．
令g（x）=a（e^x-a）-x，则g'（x）=ae^x-1．                     
（1）当a＜0时，g'（x）＜0，g（x）=a（e^x-a）-x在x∈[1，+∞）上单调递减，
又g（1）=a（e-a）-1=ea-a²-1＜0，不合题意，舍去．        
（2）当a＞0时，g'（x）=ae^x-1=0得$x=ln\frac{1}{a}$．

	$（-∞，ln\frac{1}{a}）$	$（ln\frac{1}{a}，+∞）$
g'（x）	-	+
g（x）	单调递减	单调递增

①当$ln\frac{1}{a}≤1$，即$a≥\frac{1}{e}$时，g（x）=a（e^x-a）-x在x∈[1，+∞）上单调递增，
得g（x）_min=g（1），
由a（e^x-a）-x≥0在x∈[1，+∞）上恒成立，得g（1）≥0，
即$\frac{{e-\sqrt{{e^2}-4}}}{2}≤a≤\frac{{e+\sqrt{{e^2}-4}}}{2}$，
又$a≥\frac{1}{e}$，得$\frac{{e-\sqrt{{e^2}-4}}}{2}≤a≤\frac{{e+\sqrt{{e^2}-4}}}{2}$；
②当$ln\frac{1}{a}＞1$，即$0＜a＜\frac{1}{e}$时，由上表可知${g_{min}}=g（ln\frac{1}{a}）$，
由a（e^x-a）-x≥0在x∈[1，+∞）上恒成立，得$g（ln\frac{1}{a}）≥0$，即1+lna-a²≥0．
令h（a）=1+lna-a²，则$h（a）=\frac{1}{a}-2a=\frac{{1-2{a^2}}}{a}$．由h（a）=0得$a=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$或$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$（舍去），

	$（0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$	$（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，+∞）$
h'（a）	+	-
h（a）	单调递增	单调递减

由上表可知h（a）=1+lna-a²在$0＜a＜\frac{1}{e}$上单调递增，
则$h（a）＜h（\frac{1}{e}）=-\frac{1}{e^2}＜0$，故不等式h（a）=1+lna-a²≥0无解．
综上所述，$\frac{{e-\sqrt{{e^2}-4}}}{2}≤a≤\frac{{e+\sqrt{{e^2}-4}}}{2}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、最值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用分类讨论的思想方法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．