Question

4．设向量$\overrightarrow{AB}$=（1，m），$\overrightarrow{BC}$=（2m，-1），其中m∈[-1，+∞），则$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$的最小值为$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 求出$\overrightarrow{AC}$的坐标，代入向量的数量积公式得出$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$关于m的函数，根据二次函数的性质得出$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$的最小值．

解答 解：$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$=（2m+1，m-1）．
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=2m+1+m（m-1）=m²+m+1=（m+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$．
∵m∈[-1，+∞），
∴当m=-$\frac{1}{2}$时，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$取得最小值$\frac{3}{4}$．
故答案为：$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了平面向量的坐标运算，数量积运算，二次函数的最值，属于中档题．