Question

18．如图，⊙O是以O为圆心、1为半径的圆，设点A，B，C为⊙O上的任意三点，则$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$的取值范围为[-4，4]．

Answer 1

分析 不妨设圆的方程为x²+y²=1，C（1，0），A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），运用向量的数量积的坐标表示，以及二倍角的余弦公式和和差化积公式，结合正弦函数和余弦函数的值域，即可得到所求范围．

解答 解：不妨设圆的方程为x²+y²=1，
C（1，0），A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），
则$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=（1-cosα，-sinα）•（1-cosβ，-sinβ）
=1-cosα-csβ+cosαcosβ+sinαsinβ
=1+cos（α-β）-2cos$\frac{α+β}{2}$cos$\frac{α-β}{2}$
=2cos²$\frac{α-β}{2}$-2cos$\frac{α+β}{2}$cos$\frac{α-β}{2}$
=2cos$\frac{α-β}{2}$（cos$\frac{α-β}{2}$-cos$\frac{α+β}{2}$）
=4cos$\frac{α-β}{2}$sin$\frac{α}{2}$sin$\frac{β}{2}$，
当α=4kπ+π，β=4lπ+π，α-β=4mπ，k，l，m∈Z时，取得最大值4；
当α=4kπ-π，β=4lπ-π，α-β=4mπ+2π，k，l，m∈Z时，取得最小值-4．
综上可得，$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$的取值范围是[-4，4]．
故答案为：[-4，4]．

点评 本题考查向量的数量积的坐标表示，考查圆的参数方程的运用，考查三角函数的化简和求值，注意运用正弦函数和余弦函数的值域，属于中档题．