Question

9．若函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{log_a}x，x＞2\\-{x^2}+2x-2，x≤2\end{array}\right.$（a＞0，a≠1）的值域是（-∞，-1]，则实数a的取值范围是[$\frac{1}{2}$，1）．

Answer 1

分析 根据二次函数的性质求出f（x）在（-∞，2]的最大值，从而判断出a的范围即可．

解答 解：x≤2时：f（x）=-x²+2x-2=-（x-1）²-1，
对称轴x=1，f（x）在（-∞，1）递增，在（1，2]递减；
∴f（x）的最大值是-1，而f（x）的值域是（-∞，-1]，
故0＜a＜1，
∴${log}_{a}^{2}$≤-1，解得：a≥$\frac{1}{2}$，
故答案为：[$\frac{1}{2}$，1）．

点评 本题考查了分段函数问题，考查二次函数以及对数函数的性质，是一道基础题．