Question

20．如图，在圆x²+y²=1上任取一点P，过点P作x轴的垂线段DM，D为垂足，点P为线段DM的中点．
（1）当点P在圆x²+y²=1上运动时，求点M的轨迹C的方程；
（2）在（1）的条件下，证明：点M的轨迹C的所有外切矩形的顶点在一个定圆上．

Answer 1

分析 （1）可设M（x，y），P（x₁，y₁），根据条件便可得到$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=x}\\{{y}_{1}=\frac{y}{2}}\end{array}\right.$，而点P在圆x²+y²=1上，从而便可得出点M的轨迹C的方程为${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）可看出需讨论矩形的边是否与坐标轴平行：不平行时，可设一组对边所在直线方程为y=kx+m（k≠0），联立轨迹C的方程并消去y便可得到（4+k²）x²+2mkx+m²-4=0，从而得出△=0，这样即可得到$m=±\sqrt{{k}^{2}+4}$，从而得出矩形的一组对边所在直线方程为$y-kx=±\sqrt{{k}^{2}+4}$．这样便可得出另一组对边所在直线方程为$ky+x=±\sqrt{1+4{k}^{2}}$，从而矩形顶点（x，y）满足（y-kx）²+（ky+x）²=5（k²+1），整理便可得到x²+y²=5；矩形的边与坐标轴平行时，容易求出矩形的顶点坐标，从而可以看出顶点坐标满足方程x²+y²=5，这样便得出点M的轨迹C的所有外切矩形的顶点在一个定圆上．

解答 解：（1）设M（x，y），P（x₁，y₁），则：
$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=x}\\{{y}_{1}=\frac{y}{2}}\end{array}\right.$；
∵点P在圆x²+y²=1上；
∴${{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}=1$；
∴${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
∴点M的轨迹C的方程为${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）证明：①若矩形的边与坐标轴不平行，则可设一组对边所在直线的方程为y=kx+m（k≠0）；
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$消去y得：（4+k²）x²+2mkx+m²-4=0；
∴△=4m²k²-4（4+k²）（m²-4）=0，化简得，$m=±\sqrt{{k}^{2}+4}$；
∴矩形的一组对边所在直线的方程为$y=kx±\sqrt{{k}^{2}+4}$，即$y-kx=±\sqrt{{k}^{2}+4}$；
则另一组对边所在直线的方程为$ky+x=±\sqrt{1+4{k}^{2}}$；
于是矩形顶点坐标（x，y）满足（y-kx）²+（ky+x）²=（k²+4）+（1+4k²）；
即（1+k²）（x²+y²）=5（1+k²）；
∴x²+y²=5；
②若矩形的边与坐标轴平行，则四个顶点（±1，±2）显然满足x²+y²=5；
∴点M的轨迹C的所有外切矩形的顶点在一个定圆x²+y²=5上．

点评 考查动点的轨迹方程的求法，中点坐标公式，椭圆的标准方程，以及直线的斜截式方程，直线和椭圆相切时，直线方程和椭圆方程联立所得一元二次方程有二重根，从而有△=0，以及圆的标准方程．