Question

10．已知函数f（x）=2cosx（sinx-cosx）+m（m∈R），将y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{4}$个单位后得到y=g（x）的图象，且y=g（x）在区间[0，$\frac{π}{4}$]内的最大值为$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若g（$\frac{3}{4}$B）=l，且a+c=2，求△ABC的周长l的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函数的倍角公式进行化简，结合三角函数的单调性进行求解即可求实数m的值；
（Ⅱ）根据余弦定理结合基本不等式的关系进行求解．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=2cosx（sinx-cosx）+m=sin2x-cos2x-1+m=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）-1+m，
∴g（x）=$\sqrt{2}$sin[2（x+$\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{4}$]-1+m=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）-1+m，
∵x∈[0，$\frac{π}{4}$]，∴2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
∴当2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$时，即x=$\frac{π}{8}$时，函数g（x）取得最大值$\sqrt{2}$+m-1=$\sqrt{2}$，
则m=1．        
（Ⅱ）∵g（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），且g（$\frac{3}{4}$B）=$\sqrt{2}$sin（$\frac{3}{2}$B+$\frac{π}{4}$）=l，
即sin（$\frac{3}{2}$B+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵0＜$\frac{3}{2}$B＜$\frac{3π}{2}$，
∴$\frac{π}{4}$＜$\frac{3}{2}$B+$\frac{π}{4}$＜$\frac{7π}{4}$，∴当$\frac{3}{2}$B+$\frac{π}{4}$=$\frac{3π}{4}$，即B=$\frac{π}{3}$，
∵a+c=2，∴由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac≥（a+c）²-$\frac{3（a+c）^{2}}{4}=1$，
当且仅当a=c=1时等号成立，
又b＜a+c=2，∴1≤b＜2，
∴△ABC的周长l=a+b+c∈[3，4），
故△ABC的周长l的取值范围是[3，4）．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，以及解三角形的应用，根据三角函数的倍角公式以及余弦定理是解决本题的关键．