Question

15．设实数a，b，c满足a+b+c=1，则
（1）t=ab+bc+ca的最大值为$\frac{1}{3}$．
（2）t=2ab+bc+2ca的最大值为$\frac{4}{7}$．

Answer 1

分析 （1）将等式两边平方，再由不等式a²+b²+c²≥ab+bc+ca，即可得到所求最大值；
（2）由a+b+c=1可得b+c=1-a，又t=bc+2a（b+c）=bc+2a（1-a），运用基本不等式和二次函数的最值的求法，即可得到所求最大值．

解答 解：（1）由a+b+c=1可得a²+b²+c²+2（ab+bc+ca）=1，
由a²+b²+c²≥ab+bc+ca，可得1≥3（ab+bc+ca），
即有ab+bc+ca≤$\frac{1}{3}$，
当且仅当a=b=c=$\frac{1}{3}$，取得最大值$\frac{1}{3}$；
（2）由a+b+c=1可得b+c=1-a，
又t=bc+2a（b+c）=bc+2a（1-a）
≤（$\frac{b+c}{2}$）²+2a（1-a）=$\frac{1}{4}$[（1-a）²+8a（1-a）]
=$\frac{1}{4}$[-7（a-$\frac{3}{7}$）²+$\frac{16}{7}$]≤$\frac{1}{4}$•$\frac{16}{7}$=$\frac{4}{7}$，
当且仅当a=$\frac{3}{7}$，b=c=$\frac{2}{7}$，取得最大值$\frac{4}{7}$．
故答案为：$\frac{1}{3}$，$\frac{4}{7}$．

点评 本题考查最值的求法，注意运用转化思想和基本不等式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．