Question

4．已知a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边长，若$A=\frac{π}{3}，b=2acosB，c=1$，则S_△ABC=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$．

Answer 1

分析 利用正弦定理把已知等式化边为角，求出B，可得三角形为等边三角形，则面积可求．

解答 解：△ABC中，∵b=2acosB，
∴根据正弦定理，得sinB=2sinAcosB，
又∵A=$\frac{π}{3}$，
∴sinB=2sin$\frac{π}{3}$cosB，
即sinB=$\sqrt{3}$cosB，可得tanB=$\sqrt{3}$．
∵B∈（0，π），∴B=$\frac{π}{3}$；
∵A=$\frac{π}{3}$，B=$\frac{π}{3}$，
∴C=π-（A+B）=$\frac{π}{3}$．
则a=b=c=1，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×1×1×sin\frac{π}{3}=\frac{\sqrt{3}}{4}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题已知三角形的边和角的关系式，求三角形的面积，着重考查了正弦定理、同角三角函数的基本关系与三角形的面积求法等知识，属于中档题．