Question

9．已知f（x）=e^x-ae^-x+（a+1）x+2a，若对于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＞0，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 问题转化为a＞$\frac{{e}^{x}+x}{{e}^{-x}-x-2}$，设h（x）=$\frac{{e}^{x}+x}{{e}^{-x}-x-2}$利用极限的思想求出函数h（x）的最大值，问题得以解决．

解答 解：∵f（x）=e^x-ae^-x+（a+1）x+2a，对于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＞0，
∴e^x+x＞a（e^-x-x-2），
∵g（x）=e^-x-x-2在（0，+∞）为减函数，
∴g（x）_max＜g（0）=-1，
∴g（x）＜-1，
∴a＞$\frac{{e}^{x}+x}{{e}^{-x}-x-2}$，
设h（x）=$\frac{{e}^{x}+x}{{e}^{-x}-x-2}$，
∴$\underset{lim}{x→0}$=$\frac{{e}^{x}+x}{{e}^{-x}-x-2}$
=$\underset{lim}{x→0}$=$\frac{{e}^{x}}{-{e}^{-x}}$=-1，
∴a≥-1，
故a的取值范围为[-1，+∞）．

点评 本题考查了参数的取值范围以及函数恒成立的问题和极限的思想，属于中档题．