Question

18．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2，AD=DC=1，P是线段BC上一动点，Q是线段DC上一动点，$\overrightarrow{DQ}=λ\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{CP}=（1-λ）\overrightarrow{CB}$，若集合M=$\{x|x=\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AQ}\}$，N=$\left\{{x\left|{x=\frac{{{a^2}+{b^2}+1}}{3（a-b）}，a＞b，ab=1}\right.}\right\}$．则M∩N=[$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，2]．

Answer 1

分析 用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AD}$表示$\overrightarrow{AP}，\overrightarrow{AQ}$，根据λ的范围求出$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AQ}$的范围，即M的范围，根据基本不等式求出N的范围，得出M∩N．

解答 解：∵$\overrightarrow{DQ}=λ\overrightarrow{DC}$，∴0≤λ≤1．
$\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}$．
$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CP}$=$\overrightarrow{AD}+\frac{λ}{2}\overrightarrow{AB}+（1-λ）$（$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}$）=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{AD}$．
$\overrightarrow{AQ}$=$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DQ}$=$\frac{λ}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$．
∴$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AQ}$=（$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{AD}$）•（$\frac{λ}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$）=$\frac{λ}{4}{\overrightarrow{AB}}^{2}$+$λ{\overrightarrow{AD}}^{2}$=2λ．
∴M=$\{x|x=\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AQ}\}$=[0，2]．
∵a＞b，ab=1，
∴a-b＞0，
$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}+1}{3（a-b）}$=$\frac{（a-b）^{2}+2ab+1}{3（a-b）}$=$\frac{a-b}{3}+\frac{1}{a-b}$≥2$\sqrt{\frac{1}{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∴N={x|x=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}+1}{3（a-b）}$，a＞b，ab=1}=[$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，+∞）．
∴M∩N=[$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，2]．
故答案为：$[{\frac{{2\sqrt{3}}}{3}，2}]$．

点评 本题考查了平面向量线性运算的几何意义，向量的数量积运算，基本不等式及集合运算，属于中档题．